サッカーくじ toto BIG のキャリーオーバーの本質

最高6億円が当たるという toto BIG は、キャリーオーバーが約15億円あることから話題となって、昨日 (5月19日) 締め切りの第278回では過去最高の約61億円の売り上げを記録した。なるほど、キャリーオーバーも売り上げも少ない時は、たとえば宝くじ (還元率46.3%) などと比べても、toto BIG は分が悪すぎるくじである。

特に、キャリーオーバー (加算金) が完全に0の時は、売り上げがいくら大きくても、当たった口数がいくら少なくても、当せん金の上限は3億円となってしまう。

（払戻金）
第12条
1口当たりの払戻金は、関係法令に定めるところにより、スポーツ振興投票の類型ごとかつ第5条第1項による指定試合の数及び指定試合の組ごとに、売上金額の50%に相当する額を、センターがあらかじめ定める率に応じて各等ごとに配分し、それらの金額にそれぞれ次条による加算金を加えた金額（以下「配分金額」といいます。)を、各等ごとに合致した投票口数であん分した金額となります。
2 「toto」の１口当たりの払戻金の最高限度額は、第５条第１項による指定試合の数が１４の場合は、一等は３億円（一等に加算金がある場合は６億円）、
(以下略)

(toto約款より引用)

toto BIG の本来の還元率は50%、つまり、毎回の売り上げの50%が当せん金に配分される。そのうち40%が1等、10%が2～4等に配分される。また、toto BIG において、各試合の勝ち、負け、引き分けのいずれかの指定は、くじ販売時にランダムに指定されるため、人的な予想を行う従来の toto と違い、1試合あたりの当たる確率は常に3分の1となる。指定試合が14試合なら、1等 (指定試合の勝ち、負け、引き分けがすべて的中) が当たる確率は、3の14乗 (478万2969) 分の1となる。toto BIG は1口300円であるから、1等の当せん金の期待値は本来、300×4782969×40% ＝ 5億7395万6280円 となるべきである。

しかし、キャリーオーバーが0であれば、前述のように、その回の売り上げがいくら大きくても3億円が最高限度額となり、差額は次回へのキャリーオーバーとなる。実質的な還元率は約31%まで落ち込んでしまう (売り上げが少なければ3億円すら配分できないためさらに低下する)。「キャリーオーバーがたくさんある今こそチャンス！」というようなあちこちの煽りとは裏腹に、そもそも、キャリーオーバーが0では分が悪すぎる公営ギャンブルなのである。

なお、toto約款を素直に解釈すると、キャリーオーバーが1円でもあれば、売り上げと当せん口数次第では1等6億円が生じる可能性はある。

ただし、今回ほどには人気が沸騰していなかった回の売り上げは、たとえば今シーズン最初の第261回 (3月３～4日) は1億2618万3900円 (42万0613口) にとどまっている。とりあえず1等が1口だけ出た (自分だけ当たった) 場合に備え、最低でもキャリーオーバーが6億近くないと、「買えない」くじだということになる。

逆に、今回 (第278回) のように61億2033万1500円 (2040万1105口) の売り上げがあれば、そのうちの40% (24億円強) が1等に配分されるから、1等の当せん口数が4口までなら、キャリーオーバーを取り崩さなくても6億円を各口に配分できる。そして、1等の当たる確率は約480万分の１だから、1等の当せん口数の期待値は4口強といったところである。試しにプログラムを作成して確率計算してみたところ、今回の1等の当せん口数が4口以内に収まる確率は57.4%ある。

つまり、売り上げが十分大きければ、キャリーオーバーなど、あまり意味がないのである。こうした制度は、toto BIG の売り上げが低迷していることを前提として、6億円という最高限度額と組み合わせ、本来の1等当せん金の期待値である5億7395万6280円に近い値へ平準化させるための方策だったわけである。

しかし、キャリーオーバーが底をついて0円となった途端、平準化どころか、極端に分の悪いくじへと toto BIG は化けてしまう。ちなみに、今回のキャリーオーバーは15億円弱で、合計約39億円が配分可能だから、当せん口数が7口以上ならば、次回へのキャリーオーバーは0となり、次回の1等当せん金の最高限度額は3億円となってしまう。先のプログラムの計算では、今回の当せん口数が7口以上となる確率は14.2%ある。

ここで、

キャリーオーバー発生時の最高限度額 (6億円) ＞ 本来の1等当せん金の期待値 (5億7395万6280円)

という不等式が僅差ながら成り立つことに注意してほしい。キャリーオーバーがずっと残っているということがないように制度設計されている。それはよい。

しかし、キャリーオーバーが0の回は、次回以降への寄付みたいなくじとなってしまう (笑)。次回にせよ、次々回以降にせよ、計算上、そのうち一旦はキャリーオーバーが0となる時が来る。その時にどのような反応が起こるか、少々興味深いところではある。

・・・と書いているうちに、今回の結果が発表された。1等は7口、つまり、次回へのキャリーオーバーは0である・・・

追記

1等当せん金の期待値早見表を別記事に掲載した (6月23日)。